İçeriğe geç
Sepet Giriş

10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı

Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli 10. sınıf matematik 1. dönem öğrenme çıktılarının özeti: önemli bilgiler, formüller, çözümlü örnekler ve ortak yazılıda (OYSS) nasıl sorulduğu.

Dik üçgende trigonometrik oranlar

Öğrenme çıktısı: 10.1.1

Dik üçgende bir dar açı α için kenarlar açıya göre adlandırılır: karşı dik kenar, komşu dik kenar ve hipotenüs. Oranlar bu kenarlardan bulunur; aynı açının oranları üçgenin büyüklüğüne bağlı değildir.

Önemli bilgiler ve formüller
  • sin α = karşı / hipotenüs
  • cos α = komşu / hipotenüs
  • tan α = karşı / komşu, cot α = komşu / karşı
  • sin²α + cos²α = 1
  • tan α = sin α / cos α, tan α · cot α = 1
  • sin α = cos(90° − α)
  • sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = √3/3
  • sin45° = cos45° = √2/2, tan45° = 1
  • sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √3

Örnek 1. Bir dik üçgende sin α = 3/5 ise cos α ve tan α kaçtır?

Çözümü göster
  1. Karşı = 3k, hipotenüs = 5k al.
  2. Pisagor: komşu² = 25k² − 9k² = 16k² → komşu = 4k.
  3. cos α = 4/5, tan α = 3/4.

Cevap: cos α = 4/5, tan α = 3/4

Yazılıda: Özdeşlikleri ezberden değil, dik üçgenden ve sin²α + cos²α = 1'den türeterek göstermen istenebilir.

Üçgenin yardımcı elemanları

Öğrenme çıktısı: 10.1.2

Üçgenin dört yardımcı elemanı ve kesiştikleri noktalar: kenarortaylar ağırlık merkezinde, açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde, yükseklikler diklik merkezinde, kenar orta dikmeler çevrel çemberin merkezinde kesişir.

Önemli bilgiler ve formüller
  • Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler
  • İç açıortay teoremi: A açıortayı BC'yi D'de keserse BD / DC = AB / AC
  • Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır

Örnek 2. ABC üçgeninde AB = 6, AC = 9, BC = 10. A açısının açıortayı BC'yi D noktasında kesiyor. BD kaçtır?

Çözümü göster
  1. Açıortay teoremi: BD / DC = 6 / 9 = 2 / 3.
  2. BD = 2k, DC = 3k, 5k = 10 → k = 2.
  3. BD = 4, DC = 6.

Cevap: BD = 4

Yazılıda: Bir özelliği çizimle doğrulama ya da bir noktanın neden o özel nokta olduğunu açıklama istenebilir.

Üçgende alan değişimi

Öğrenme çıktısı: 10.1.3

Üçgenin alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Bu yüzden alan, taban ve yüksekliğe doğru orantılıdır: taban sabitken yükseklik 2 katına çıkarsa alan da 2 katına çıkar. Aynı tabana ve aynı yüksekliğe sahip üçgenlerin alanları eşittir.

Önemli bilgiler ve formüller
  • Alan = (taban · yükseklik) / 2
  • Alan = (1/2) · b · c · sin A
  • Taban k katı, yükseklik m katı olursa alan k · m katı olur

Örnek 3. Bir üçgenin tabanı %20 artırılıp bu tabana ait yükseklik %25 azaltılırsa alan yüzde kaç değişir?

Çözümü göster
  1. Yeni alan = (1,2 · taban) · (0,75 · yükseklik) / 2.
  2. Çarpan: 1,2 · 0,75 = 0,9.
  3. Alan eskisinin %90'ı olur → %10 azalır.

Cevap: %10 azalır

Yazılıda: Değişimi tablo ya da grafikle göstermen ve sonucu gerekçelendirmen istenebilir.

Sinüs ve kosinüs teoremleri

Öğrenme çıktısı: 10.1.4

Dik olmayan üçgenlerde kenar ve açıları bağlayan iki teorem: iki açı ve bir kenar biliniyorsa sinüs teoremi, iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa kosinüs teoremi kullanılır.

Önemli bilgiler ve formüller
  • Sinüs teoremi: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (R: çevrel çember yarıçapı)
  • Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc · cos A
  • A = 90° ise cos A = 0 → Pisagor teoremine dönüşür

Örnek 4. Bir üçgende b = 5, c = 8 ve aralarındaki açı A = 60° ise a kaçtır?

Çözümü göster
  1. a² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos60°.
  2. a² = 25 + 64 − 80 · (1/2) = 89 − 40 = 49.
  3. a = 7.

Cevap: a = 7

Yazılıda: Bu çıktı "doğrulayabilme veya ispatlayabilme" içerir; teoremin bir dik üçgen üzerinden nasıl elde edildiğini adım adım yazabilmelisin.

İki kategorik değişkenli veri

Öğrenme çıktısı: 10.2.1, 10.2.2

Kategorik değişken sayı değil sınıf bildirir (spor yapıyor/yapmıyor, kız/erkek gibi). İki kategorik değişken iki yönlü (çapraz) tabloyla özetlenir. İlişki olup olmadığına karar vermek için grupların oranlarını karşılaştırırsın; sayıları değil.

İlişki bulman neden-sonuç ilişkisi kanıtlamaz: "ilişkili" demek, birinin diğerine yol açtığı anlamına gelmez.

Önemli bilgiler ve formüller
  • Satır (ya da sütun) yüzdesi = hücre / satır toplamı
  • Gruplardaki oranlar belirgin farklıysa değişkenler ilişkilidir
  • İlişkililik ≠ nedensellik

Örnek 5. 200 öğrenciden spor yapan 80 kişinin 60'ı, spor yapmayan 120 kişinin 54'ü düzenli kahvaltı ediyor. Spor yapma ile kahvaltı arasında ilişki var mıdır?

Çözümü göster
  1. Spor yapanlarda oran: 60 / 80 = %75.
  2. Spor yapmayanlarda oran: 54 / 120 = %45.
  3. Oranlar belirgin farklı → iki değişken arasında ilişki vardır. Ancak bu, sporun kahvaltıya yol açtığını göstermez.

Cevap: İlişki var (%75 ve %45); nedensellik değil

Yazılıda: Başkasının yaptığı bir yorumu (ör. bir haberdeki iddiayı) verilere bakarak tartışman istenir; oranla gerekçelendir.

Sayılar: asal çarpanlar, EBOB-EKOK, kalan

Öğrenme çıktısı: 10.3.1, 10.3.2, 10.3.3

Her doğal sayı asal çarpanların çarpımı olarak tek biçimde yazılır. Bölen sayısı, EBOB ve EKOK bu yazılıştan bulunur. Bölme işleminde kalan her zaman bölenden küçüktür.

Önemli bilgiler ve formüller
  • n = pᵃ · qᵇ · rᶜ ise pozitif bölen sayısı = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
  • EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b
  • Bölme: a = b · q + r, 0 ≤ r < b
  • Bölünebilme: 3 ve 9 → rakamlar toplamı; 4 → son iki basamak; 11 → basamakların sırayla + − toplamı

Örnek 6. 72'nin kaç pozitif böleni vardır? EBOB(12, 18) ve EKOK(12, 18) nedir?

Çözümü göster
  1. 72 = 2³ · 3² → bölen sayısı (3 + 1)(2 + 1) = 12.
  2. 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² → EBOB = 2 · 3 = 6, EKOK = 2² · 3² = 36.
  3. Kontrol: 6 · 36 = 216 = 12 · 18.

Cevap: 12 bölen; EBOB 6, EKOK 36

Örnek 7. 3 ile bölümünden kalan 2, 5 ile bölümünden kalan 4 olan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?

Çözümü göster
  1. Sayıya 1 eklenirse hem 3'e hem 5'e tam bölünür.
  2. x + 1, EKOK(3, 5) = 15'in katıdır → x + 1 = 15.
  3. x = 14 (kontrol: 14 = 3·4 + 2, 14 = 5·2 + 4).

Cevap: 14

Yazılıda: Kalan sorularında "neden" sorusu gelir: kalanların bölenden bir eksik olduğunu fark edip gerekçesini yazmak puan getirir.

Fonksiyonlar ve karesel fonksiyon

Öğrenme çıktısı: 10.4.1, 10.4.2

Bir bağıntının fonksiyon olması için tanım kümesindeki her eleman tam bir elemanla eşleşmelidir; grafikte her düşey doğru grafiği en fazla bir noktada keser.

Karesel referans fonksiyon f(x) = x², tepe noktası orijinde olan paraboldür. g(x) = a(x − r)² + k için tepe noktası (r, k), simetri ekseni x = r'dir; a > 0 ise kollar yukarı (en küçük değer k), a < 0 ise aşağı (en büyük değer k). |a| büyüdükçe parabol daralır.

Önemli bilgiler ve formüller
  • g(x) = a(x − r)² + k → tepe (r, k)
  • Simetri ekseni: x = r
  • a > 0: en küçük değer k · a < 0: en büyük değer k
  • Sıfırlar: a(x − r)² + k = 0

Örnek 8. g(x) = −2(x − 1)² + 8 fonksiyonunun tepe noktasını, en büyük değerini ve sıfırlarını bul.

Çözümü göster
  1. Tepe noktası (1, 8); a = −2 < 0 → kollar aşağı, en büyük değer 8.
  2. −2(x − 1)² + 8 = 0 → (x − 1)² = 4 → x − 1 = ±2.
  3. x = 3 veya x = −1. (y eksenini kestiği nokta g(0) = 6.)

Cevap: Tepe (1, 8), en büyük 8, sıfırlar −1 ve 3

Yazılıda: a, r, k değişince grafiğin nasıl değiştiğini açıklama; grafiği verilen parabolün denklemini yazma soruları sık gelir.

Yazılıya hazır mısın?

Hangi çıktıdan kaç soru geleceğini gör: 1. dönem 1. yazılı · 1. dönem 2. yazılı. Takıldığın soruyu gönder, öğretmenimiz çözsün.

Soru sor Soru tipleri OYSS soru çözümü

Diğer sınıflar: 9. sınıf matematik · 11. sınıf matematik · Maarif Modeli

Sıkça sorulan sorular

10. sınıf matematik 1. dönem yazılısında hangi konular var?

MEB ortak yazılı dağılım tablolarına göre: Dik üçgende trigonometrik oranlar; Üçgenin yardımcı elemanları; Üçgende alan değişimi; Sinüs ve kosinüs teoremleri; İki kategorik değişkenli veri; Sayılar: asal çarpanlar, EBOB-EKOK, kalan; Fonksiyonlar ve karesel fonksiyon. Hangi öğrenme çıktısından kaç soru geleceği yazılı sayfalarında senaryo senaryo verilir.

Ortak yazılıda sorular nasıl olur?

Maarif Modeli'nde sorular öğrenme çıktılarını ölçer; çoktan seçmelinin yanında kısa cevaplı ve açık uçlu, gerekçe isteyen sorular da bulunabilir. Cevabını adım adım ve gerekçesiyle yazmak puan getirir.